Θεωρία Ομάδων

Ομάδες, υποομάδες, κυκλικές, ευθέα γινόμενα, συμμετρικές ομάδες, συζυγία, κεντροποιητής, κανονικές υποομάδες, ομάδες πηλίκα, ομομορφισμοί. Ευθέα γινόμενα, πεπερασμένα γεννώμενες αβελιανές ομάδες. Θεωρήματα Sylow και εφαρμογές. Ημιευθέα και στεφανιαία γινόμενα. Ελεύθερες, επιλύσιμες ομάδες. Ανώτερες και κατώτερες κεντρικές σειρές, μηδενοδύναμες ομάδες.

Στόχοι Μαθήματος

Το μάθημα αποτελεί μια εμβάθυνση στη Θεωρία Ομάδων και θα προπαθήσει να αναδείξει το γεγονός ότι η άλγεβρα ασχολείται εν πολλοίς με προβλήματα ταξινόμησης, δηλαδή με τον εντοπισμό αντιπροσώπων με χαρακτηριστικές ιδιότητες (ανάλογα με το πρόβλημα) από τις κλάσεις των ισόμορφων ομάδων. Αρχίζοντας από την έννοια της δράσης μιας ομάδας πάνω σε ένα σύνολο θα προχωρήσουμε στα λεγόμενα Θεωρήματα Sylow που προσδιορίζουν υποομάδες μιας πεπερασμένης ομάδας, οι οποίες έχουν τάξη μέγιστη δύναμη πρώτου αριθμού. Κατόπιν θα μελετήσουμε αλυσσίδες υποομάδων που θα μας οδηγήσουν στο Θεώρημα Jordan-Hoelder και κατόπιν θα αποδείξουμε το Θεώρημα ταξινόμησης των πεπερασμένως παραγόμενων αβελιανών ομάδων.

Προαπαιτούμενες Γνώσεις

Περιεχόμενα

1 - Δράση Ομάδας επί ενός Συνόλου 2 - Θεωρία Sylow 3 - Ευθέα Γινόμενα Ομάδων 4 - Το Θεώρημα Jordan–Hölder 5 - Επιλύσιμες Ομάδες 6 - Επεκτάσεις Ομάδων