Μαθηματικά ΙΙ

Η επίλυση πολύπλοκων προβλημάτων μηχανολογικού ενδιαφέροντος, όπως αυτά που αναμένεται πως θα επηρεάσουν τις τεχνολογικές εξελίξεις στο μέλλον, είναι μια διαδικασία που απαιτεί προσεκτικό σχεδιασμό, ακρίβεια στη λογική, επιμονή στη λεπτομέρεια, με λίγα λόγια επιστημονική αντιμετώπιση και, επομένως, δε μπορεί να επιτευχθεί μόνο με φραστικό συλλογισμό. Τα Μαθηματικά συνιστούν το βασικό μέσο «κωδικοποίησης» των διαφόρων προβλημάτων που καλούνται να επιλύσουν οι σύγχρονοι Μηχανολόγοι Μηχανικοί και, γι’ αυτό, αποτελούν ένα ισχυρό «εργαλείο» στα χέρια τους. Απ’ την άλλη μεριά, η αλματώδης εξέλιξη της τεχνολογίας - και η εξειδίκευση στην αγορά εργασίας που αυτή συνεπάγεται – καθιστά επιτακτική τη διαρκή εξέλιξη, η οποία μπορεί να επιτευχθεί, κυρίως, μέσω των Προγραμμάτων Μεταπτυχιακών Σπουδών (ΠΜΣ). Για το λόγο αυτό, ο αυριανός Πτυχιούχος του Τμήματος Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. θα πρέπει, εκτός των άλλων, να κατέχει και ένα «συμπαγές» μαθηματικό υπόβαθρο, το οποίο είναι απαραίτητο στα περισσότερα σύγχρονα ΠΜΣ. Μια πρώτη προσέγγιση στο εν λόγω υπόβαθρο έγινε με τα Μαθηματικά Ι. Πλέον, το «ταξίδι» των Σπουδαστών του Τμήματος Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. στoν κόσμο της λογικής και των αριθμών συνεχίζεται, με τη μελέτη πιο εκλεπτυσμένων εννοιών όπως αυτές που περιλαμβάνονται στο Λογισμό Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών και στις Διαφορικές Εξισώσεις (Μαθηματικά ΙΙ).

Στόχοι Μαθήματος

Μετά την επιτυχή παρακολούθηση του μαθήματος οι φοιτητές του Τμήματος Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. θα πρέπει:          Στο Λογισμό Πολλών Μεταβλητών: Να γνωρίζουν τις βασικές έννοιες που αφορούν στις συναρτήσεις δύο ή/και περισσοτέρων μεταβλητών (τόπος ορισμού, γεωμετρική ερμηνεία κ.ά.). Να γνωρίζουν σε βάθος την έννοια της μερικής παραγώγου πρώτης και δεύτερης τάξης, καθώς και την αντίστοιχη «μικτή» παράγωγο. Να επιλύουν προβλήματα μερικής παραγώγισης σύνθετων και πεπλεγμένων συναρτήσεων, καθώς επίσης και προβλήματα καθορισμού ολικών διαφορικών. Να αντιμετωπίζουν προβλήματα ακρότατων τιμών των συναρτήσεων πολλών μεταβλητών με τη βοήθεια των μερικών παραγώγων (μέγιστα ελάχιστα και «σαγματικά» σημεία). Να γνωρίζουν τις βασικές αρχές της Διανυσματικής Ανάλυσης και τις έννοιες της κλίσης, της απόκλισης και της στροφής των διανυσματικών πεδίων, με ιδιαίτερη έμφαση στην ποσοτική αξιοποίηση των εν λόγω μεγεθών. Να μπορούν να υπολογίσουν την τιμή διπλών ολοκληρωμάτων σε καρτεσιανές ή/και πολικές συντεταγμένες, καθώς και των ποσοτήτων που άπτονται των εφαρμογών τους (όγκος στερεού σώματος, ροπές αδράνειας κ.ά.).   Στις Διαφορικές Εξισώσεις: Να γνωρίζουν τις βασικές έννοιες των διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης (γενική και μερική λύση, αρχικές συνθήκες). Να επιλύουν διάφορα είδη διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης – διαφορικές εξισώσεις με χωριζόμενες μεταβλητές και οι αναγόμενες σ’ αυτές, ομογενείς διαφορικές εξισώσεις και οι αναγόμενες σ’ αυτές, γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης, πλήρεις διαφορικές εξισώσεις με τη χρήση (ή μη) ολοκληρωτικού παράγοντα. Να μπορούν να αντιμετωπίσουν προβλήματα Φυσικής και Τεχνολογικών Εφαρμογών, με τη σύνθεση και επίλυση της διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης που τα περιγράφει. Να διαχειρίζονται επαρκώς τις γραμμικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές και μη μηδενικό δεύτερο μέλος, με έμφαση στα βασικά χαρακτηριστικά τους (ομογενής και πλήρης διαφορική εξίσωση, κατηγορίες λύσεων της ομογενούς, επιλογή της μερικής λύσης της πλήρους ανάλογα με τη συναρτησιακή έκφραση του δευτέρου μέλους, αρχικές και συνοριακές συνθήκες). Να μπορούν να αντιμετωπίσουν προβλήματα Φυσικής και Τεχνολογικών Εφαρμογών, με τη σύνθεση και επίλυση της διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης που τα περιγράφει.

Προαπαιτούμενες Γνώσεις

Όχι

Περιεχόμενα

Λογισμός Πολλών Μεταβλητών: Συναρτήσεις δύο μεταβλητών: Τόπος ορισμού και γεωμετρική ερμηνεία. Μερικές παράγωγοι: Πρώτης και δεύτερης τάξης, μικτή παράγωγος. Μερικές παράγωγοι σύνθετων και πεπλεγμένων συναρτήσεων. Ολικό διαφορικό συνάρτησης δύο μεταβλητών. Ακρότατες τιμές συναρτήσεων δύο μεταβλητών - μέγιστα, ελάχιστα και «σαγματικά» σημεία. Διανυσματική Ανάλυση: Διανυσματικά πεδία - κλίση, απόκλιση και στροφή. Διπλά ολοκληρώματα: Τόπος ολοκλήρωσης, γεωμετρική ερμηνεία. Επίλυση διπλού ολοκληρώματος σε καρτεσιανές και πολικές συντεταγμένες. Εφαρμογές των διπλών ολοκληρωμάτων – όγκος στερεού σώματος, ροπές αδράνειας. Διαφορικές Εξισώσεις: Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης: Γενική και μερική λύση, αρχικές συνθήκες. Είδη διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης – διαφορικές εξισώσεις με χωριζόμενες μεταβλητές και οι αναγόμενες σ’ αυτές, ομογενείς διαφορικές εξισώσεις και οι αναγόμενες σ’ αυτές, γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης, πλήρεις διαφορικές εξισώσεις, ολοκληρωτικοί παράγοντες. Φυσικές και Τεχνολογικές Εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές και μη μηδενικό δεύτερο μέλος: Βασικά χαρακτηριστικά - ομογενής και πλήρης διαφορική εξίσωση, κατηγορίες λύσεων της ομογενούς, επιλογή μερικής λύσης της πλήρους, αρχικές και συνοριακές συνθήκες.