Μαθηματική Λογική

Το μάθημα αφορά βασικές γνώσεις Μαθηματικής Λογικής, δηλαδή τους τρόπους ορθής επιχειρηματολογίας, σε όσο το δυνατό γενικότερο πλαίσιο, με χρήση συμβολισμού και μεθόδων από τα Μαθηματικά.

Στόχοι Μαθήματος

Οι βασικοί στόχοι του μαθήματος είναι Να κάνει γνωστές στον αναγνώστη σημαντικές φυσιογνωμίες που συνέβαλαν καθοριστικά στην ανάπτυξη και εξέλιξη της Μαθηματικής Λογικής Να εξηγήσει στον αναγνώστη τη διαφορά μεταξύ φυσικών και τυπικών γλωσσών, καθώς και μεταξύ σημασιολογίας και συντακτικού Να δείξει με παραδείγματα στον αναγνώστη πώς μπορεί να εκφράσει επιχειρήματα σε συμβολική μορφή, ώστε να ελέγξει ευκολότερα την εγκυρότητά τους. Να εξοικειώσει τον αναγνώστη με τους εναλλακτικούς τρόπους μελέτης της εγκυρότητας επιχειρημάτων στην προτασιακή λογική, δηλαδή όταν η ανάλυση γίνεται μόνο με σύμβολα που αντιστοιχούν σε συνδετικές λέξεις μιας φυσικής γλώσσας. Συγκεκριμένα, παρουσιάζονται τόσο θεωρητικά, όσο και πρακτικά (δηλαδή με παραδείγματα) η σημασιολογική προσέγγιση, δηλαδή με χρήση πινάκων αλήθειας, και η συντακτική προσέγγιση, δηλαδή μέσω αξιωμάτων και αποδεικτικών κανόνων Να εξοικειώσει τον αναγνώστη με τους εναλλακτικούς τρόπους μελέτης της εγκυρότητας επιχειρημάτων στην κατηγορηματική λογική, δηλαδή όταν η ανάλυση γίνεται με σύμβολα που αντιστοιχούν σε συνδετικές λέξεις μιας φυσικής γλώσσας, αλλά και με σύμβολα που αντιστοιχούν σε εκφράσεις ποσότητας, ιδιοτήτων κτλ. Συγκεκριμένα, παρουσιάζονται τόσο θεωρητικά, όσο και πρακτικά (δηλαδή με παραδείγματα) η σημασιολογική προσέγγιση, δηλαδή η χρήση του «ορισμού ικανοποίησης» του Tarski, και η συντακτική προσέγγιση, δηλαδή μέσω αξιωμάτων, λογικών και μη, και αποδεικτικών κανόνων Να παρουσιάσει στον αναγνώστη τις βασικές ιδέες των αποδείξεων, στην προτασιακή και στην κατηγορηματική λογική, ότι η σημασιολογική συνεπαγωγή είναι ισοδύναμη με την συντακτική/τυπική συνεπαγωγή (θεωρήματα εγκυρότητας και πληρότητας).

Προαπαιτούμενες Γνώσεις

Απαιτείται στοιχειώδης μαθηματική ωριμότητα, δηλαδή άνεση στη χρήση συμβόλων και γνώση βασικών μαθηματικών εννοιών και μεθόδων (πράξεις μεταξύ συνόλων, αρχή μαθηματικής επαγωγής κτλ.).

Περιεχόμενα

Η ύλη του μαθήματος διαιρείται σε τρία κεφάλαια. Το πρώτο κεφάλαιο έχει εισαγωγικό-ιστορικό χαρακτήρα και είναι, σε μεγάλο βαθμό, ανεξάρτητο από τα άλλα δύο. Το δεύτερο κεφάλαιο αφορά την «προτασιακή λογική», δηλαδή τον πιο πρωτόγονο τρόπο συμβολικής ανάλυσης επιχειρημάτων, με βάση μόνο σύμβολα που αντιστοιχούν σε συνδετικές λέξεις όπως «και», «αν…τότε…» κτλ. Το τελευταίο κεφάλαιο αφορά την «κατηγορηματική λογική», δηλαδή τη μελέτη του συμβολικής ανάλυσης επιχειρημάτων, όπου η ανάλυση γίνεται όχι μόνο με βάση συνδετικά σύμβολα, αλλά και σύμβολα για εκφράσεις ποσότητας, όπως η «για κάθε», και σύμβολα για ιδιότητες και συναρτήσεις.