Γραμμική Άλγεβρα [open]

Complex numbers, conjugate, absolute value, Argand diagram, Euler relation, De Moivre theorem, powers, roots, factorization of a polynomial. Vector spaces, subspaces, sum of subspaces, subspace generated by a set of vectors, linear independence, basis, dimension. Matrices, operations, inverse, transpose, composite matrices, row space, rank, row echelon form, triangular, symmetric, hermitian, orthogonal matrices, trace, similar matrices, row equivalence, change of basis, linear systems. Determinants, properties, Laplace expansion formula, determinant of a triangular matrix, adjoint-inverse, Cramer’s rule. Characteristic polynomial, Cayley-Hamilton theorem, eigenvalues-eigenvectors (properties for symmetric, orthogonal matrices), functions of matrices. Linear mappings, kernel, image, matrix associated with a linear map, rotations, change of basis of a linear map. Diagonalization of a matrix, functions of diagonalizable matrices, diagonalization of a hermitian matrix, quadratic forms.

Objectives

Ο στόχος του μαθήματος είναι να παρουσιάσει στους πρωτοετείς φοιτητές τις έννοιες της γραμμικής άλγεβρας που, συνήθως, δεν τις έχουν ξανασυναντήσει. Ύστερα από μία παρουσίαση των μιγαδικών αριθμών, ένας βασικός στόχος του μαθήματος είναι να δώσει μια πλήρη και χρηστική γνώση της θεωρίας των γραμμικών χώρων. Οι έννοιες της γραμμικής ανεξαρτησίας, της γραμμικής υπέρθεσης, της βάσης, της διάστασης θα πρέπει να κατανοηθούν καλά. Ένας άλλος στόχος είναι η μελέτη της θεωρίας των πινάκων, της γραμμοϊσοδυναμίας και της επίλυσης ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων. Τεχνικές υπολογισμού απλών ή περίπλοκων οριζουσών πρέπει να συζητηθούν. Οι φοιτητές πρέπει επίσης να κατανοήσουν πιο προχωρημένα θέματα της γραμμικής άλγεβρας, όπως οι ιδιοτιμές-ιδιοανύσματα, οι γραμμικές απεικονίσεις και η διαγωνοποίηση.

Prerequisites

Μαθηματικός Λογισμός (κωδικός μαθήματος : 321-1105)

Syllabus

Μιγαδικοί αριθμοί, συζυγής, απόλυτη τιμή, φάση, διάγραμμα Argand, σχέση Euler, θεώρημα De Moivre, δυνάμεις, ρίζες, παραγοντοποίηση πολυωνύμου. Γραμμικοί χώροι, υπόχωροι, άθροισμα υπόχωρων, γραμμική θήκη, γραμμική ανεξαρτησία, βάση, διάσταση. Πίνακες, πράξεις, αντίστροφος, ανάστροφος, σύνθετοι πίνακες, γραμμόχωρος, τάξη πίνακα, κλιμακωτοί, τριγωνικοί, συμμετρικοί, ερμιτιανοί, ορθογώνιοι πίνακες, ίχνος, όμοιοι πίνακες, γραμμοϊσοδυναμία, αλλαγή βάσης, γραμμικά συστήματα. Ορίζουσες, ιδιότητες, ανάπτυγμα Laplace, ορίζουσα τριγωνικού πίνακα, adjoint-αντίστροφος, κανόνας Cramer. Χαρακτηριστικό πολυώνυμο, θεώρημα Cayley-Hamilton, ιδιοτιμές-ιδιοανύσματα (ιδιότητες για συμμετρικούς, ορθογώνιους πίνακες), συναρτήσεις πινάκων. Γραμμικές απεικονίσεις, πυρήνας, εικόνα, πίνακας γραμμικής απεικόνισης, στροφές, αλλαγή βάσης γραμμικής απεικόνισης. Διαγωνοποίηση πίνακα, συναρτήσεις διαγωνοποιήσιμων πινάκων, διαγωνοποίηση ερμιτιανού πίνακα, τετραγωνικές μορφές.