Πιθανότητες II

Στο μάθημα εκτίθεται αρχικά η μετροθεωρητική θεμελίωση των πιθανοτήτων. Έπειτα αναπτύσσονται εργαλεία για την απόδειξη οριακών θεωρημάτων, και με χρήση τους αποδεικνύονται τα δύο σημαντικότερα οριακά θεωρήματα της θεωρίας πιθανοτήτων, ο Νόμος των Μεγάλων Αριθμών και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα. Τέλος, γίνεται μια μικρή εισαγωγή στη θεωρία των μεγάλων αποκλίσεων.

Στόχοι Μαθήματος

Φορμαλισμός Πιθανοτήτω, έννοιες και βασικές τους ιδιότητες (σ-άλγεβρα, μέτρο πιθανότητας, τυχαία μεταβλητή, μέση τιμέ, ανεξαρτησία, σύγκλιση ανολουθιών τυχαίων μεταβλητών.) Τεχνικές απόδειξης σχεδόν βέβαιης σύγκλισης και σύγκλισης κατά κατανομή. Εφαρμογή στη μελέτη του μερικού αθροίσματος S_n=X_1+X_2+...+X_n ακολουθίας ανεξάρτητων και ισόνομων τυχαίων μεταβλητών (Νόμος μεγάλων αριθμών, Κεντρικό οριακό θεώρημα). Εισαγωγή στη θεωρία των μεγάλων αποκλίσεων.

Προαπαιτούμενες Γνώσεις

Απειροστικός Ι, Απειροστικός ΙΙ. Πιθανότητες Ι. Βασικές γνώσεις πραγματικής ανάλυσης.

Περιεχόμενα

Σ-άλγεβρες, μέτρα, μετρήσιμες συναρτήσεις, ολοκλήρωμα Lebesgue. Τρόποι σύγκλισης τυχαίων μεταβλητών. Ανεξαρτησία, τα λήμματα Borel-Cantelli, ο νόμος 0-1 του Kolmogorov. Ο ισχυρός νόμος των μεγάλων αριθμών. Χαρακτηριστικές συναρτήσεις, σύγκλιση κατά κατανομή. Το κεντρικό οριακό θεώρημα. Μεγάλες αποκλίσεις  και το θεώρημα Cramer.