Μαθηματικά ΙΙ

Στο μάθημα αυτό αναπτύσσονται οι βασικές έννοιες της Γραμμικής Άλγεβρας και της θεωρίας των Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών με έμφαση σε έννοιες χρήσιμες στις Οικονομικές Επιστήμες όπως η μη περιορισμένη βελτιστοποίηση και η βελτιστοποίηση με εξισωτικούς περιορισμούς.

Στόχοι Μαθήματος

Μετά το πέρας του μαθήματος αναμένεται ο φοιτητής να μπορεί: Να κάνει πράξεις με πίνακες. Να επιλύει γραμμικά συστήματα αλγεβρικών εξισώσεων. Να βρίσκει τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα ενός τετραγωνικού πίνακα και να τον διαγωνοποιεί. Να γνωρίζει τα διάφορα είδη συναρτήσεων πολλών μεταβλητών και να κάνει γραφικές τους παραστάσεις. Να βρίσκει τη μερική παράγωγο βαθμωτών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. Να βρίσκει τα ακρότατα βαθμωτών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών χωρίς περιορισμούς και με εξισωτικούς περιορισμούς. Να υπολογίζει διπλά ολοκληρώματα σε χωρία ολοκλήρωσης που είναι x-απλά, y-απλά, ή, ένωσή x-απλών και y-απλών περιοχών.

Προαπαιτούμενες Γνώσεις

Βασικές συναρτήσεις και γραφικές τους παραστάσεις. Ορισμός παραγώγου συνάρτησης μιας πραγματικής μεταβλητής. Γεωμετρική ερμηνεία παραγώγου. Παραγώγιση συναρτήσεων μιας μεταβλητής. Ολοκλήρωση συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής. Υπολογισμός αόριστων ολοκληρωμάτων. Υπολογισμός εμβαδού περιοχών με τη χρήση ορισμένων ολοκληρωμάτων.

Περιεχόμενα

Διπλά ολοκληρώματα Ορισμός διπλού ολοκληρώματος, Γεωμετρική του ερμηνεία και Θεώρημα Fubini, Διάκριση χωρίων ολοκλήρωσης σε x-απλά και y-απλά χωρία ολοκλήρωσης, Χωρία ολοκλήρωσης που είναι ένωση x-απλών και y-απλών χωρίων ολοκλήρωσης, Υπολογισμός διπλών ολοκληρωμάτων σε χωρία ολοκλήρωσης όλων των κατηγοριών.   Πίνακες  Ορισμός, Πράξεις, Είδη Πινάκων, Ορίζουσες, Ιδιότητες  Οριζουσών, Αντίστροφος Πίνακα, Όμοιοι Πίνακες, Ίχνος Πίνακα, Τάξη Πίνακα.   Γραμμικά Συστήματα Εξισώσεων  Βασική Θεωρία Επίλυσης Γραμμικών Συστημάτων v εξισώσεων με μ αγνώστους, Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων με τις μεθόδους Gauss, Gauss-Jordan, με τη μέθοδο του αντίστροφου πίνακα και με τη μέθοδο των οριζουσών, Επίλυση Ομογενών Γραμμικών Συστημάτων,  Βασικά Θεωρήματα για τους χώρους λύσεων  Γραμμικών Συστημάτων v εξισώσεων με μ αγνώστους.   Ιδιοτιμές  και Ιδιοδιανύσματα Βασική Θεωρία, Χαρακτηριστικό Πολυώνυμο Πίνακα, Θεώρημα Caley-Hamilton, Αλγεβρική και Γεωμετρική Πολλαπλότητα  Ιδιοτιμής,  Ορισμός  Πίνακα Απλής Δομής, Θεωρήματα για τους Πίνακες Απλής Δομής, Εύρεση Ιδιοτιμών και Ιδιοδιανυσμάτων, Ορισμός Ιδιόχωρου, Διάσταση Ιδιόχωρου και γεωμετρική του αναπαράσταση, Διαγωνοποίηση Πινάκων, Εύρεση νιοστής δύναμης Πίνακα, Παραδείγματα.   Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών  Είδη συναρτήσεων πολλών μεταβλητών και γραφικές τους παραστάσεις, Μερική Παράγωγος, Παραγώγιση Πεπλεγμένων Συναρτήσεων, Ικανές και Αναγκαίες Συνθήκες για την Εύρεση Ακροτάτων Συναρτήσεων πολλών μεταβλητών χωρίς περιορισμούς (Μή Περιορισμένη Βελτιστοποίηση), Παραδείγματα, Εφαρμογήː Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων,  Ικανές και Αναγκαίες Συνθήκες για την Εύρεση Ακροτάτων Συναρτήσεων πολλών μεταβλητών με εξισωτικούς περιορισμούς (Περιορισμένη Βελτιστοποίηση με εξισωτικούς περιορισμούς), Παραδείγματα.