Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ

Άθροισμα και ευθύ άθροισμα υποχώρων. Οι δακτύλιοι των πολυωνύμων R[x] και C[x]. Ιδιοτιμές. Ιδιοδιανύσματα. Ιδιόχωροι. Διαγωνοποίηση. Θεώρημα Cayley-Hamilton. Ευκλείδειοι χώροι. Ορθογωνιότητα. Κανονικοποίηση Gram-Schmidt. Ορθογώνιοι πίνακες. Αυτοπροσαρτημένοι ενδομορφισμοί. Συμμετρικοί πίνακες. Φασματικό Θεώρημα. Ισομετρίες. Τετραγωνικές μορφές. Κύριοι άξονες. Τετραγωνική ρίζα μη-αρνητικού πραγματικού συμμετρικού πίνακα. Μέτρο πίνακα.

Στόχοι Μαθήματος

Οι κύριοι σκοποί του μαθήματος είναι: (1) η μελέτη ενός ενδομορφισμού ενός διανυσματικού χώρου πεπερασμένης διάστασης ή ισοδύναμα η μελέτη ενός τετραγωνικού πίνακα, σε διάφορα πλαίσια, και (2) η μελέτη διανυσματικών χώρων με εσωτερικό γινόμενο και οι εφαρμογές τους στους ενδομορφισμούς και στους τετραγωνικούς πίνακες, καθώς και στις δευτεροβάθμιες επιφάνειες. Στο τέλος τού μαθήματος περιμένουμε από τον φοιτητή να έχει κατανοήσει τους ορισμούς και τα βασικά θεωρήματα, να έχει κατανοήσει πως αυτά εφαρμόζονται σε διακεκριμένα παραδείγματα, να είναι σε θέση να εφαρμόζει τις βασικές τεχνικές για την εξαγωγή νέων στοιχειωδών συμπερασμάτων και , και τέλος να μπορεί να εκτελεί ορισμένους (όχι τόσο προφανείς) υπολογισμούς, για παράδειγμα να διαγωνοποιεί/τριγωνοποιεί (ορθογώνια) ένα (συμμετρικό) πίνακα, και να βρίσκει τη κανονική μορφή μιας τετραγωνικής μορφής ή επιφάνειας.

Προαπαιτούμενες Γνώσεις

Γραμμική Άλγεβρα Ι

Περιεχόμενα

1 - Χαρακτηριστικό Πολυώνυµο Γινοµένου Πινάκων 2 - Τριγωνοποίηση 3 - Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton 4 - Ελάχιστο Πολυώνυµο 5 - Κανονική Μορφή Fitting 6 - Ταυτόχρονη ∆ιαγωνοποίηση 7 - Η Κανονική Μορφή Jordan - I 8 - Εφαρµογές της Κανονικής Μορφής Jordan 9 - Η Κανονική Μορφή Jordan - II 10 - Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι 11 - Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της 12 - Ισοµετρίες 13 - Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων