Εισαγωγή στην Τοπολογία

Η έννοια της τοπολογίας αποτελεί μία γενίκευση, κατά ουσιαστικό τρόπο, της έννοιας του μετρικού χώρου και δημιουργεί μία εξαιρετικά πλουσιότερη κλάση, αυτή των τοπολογικών χώρων. Στην πρώτη ενότητα παρουσιάζονται οι ορισμοί των εννοιών και μερικά βασικά παραδείγματα τοπολογικών χώρων. Επίσης, εισάγονται οι έννοιες της βάσης και της υποβάσης μίας τοπολογίας καθώς και αυτές του εσωτερικού και της κλειστότητας ενός συνόλου. Στη δεύτερη ενότητα η προσοχή μας μεταφέρεται από τις ολικές έννοιες, στη συμπεριφορά της τοπολογίας κοντά σε κάθε σημείο του χώρου. Στην τρίτη ενότητα εξετάζεται κατά πόσο η έννοια της ακολουθίας είναι ικανή για το χαρακτηρισμό της κλειστότητας ενός συνόλου ή της συνέχειας μίας συνάρτησης, στην ευρύτερη κλάση των τοπολογικών χώρων. Στην τέταρτη ενότητα περιγράφονται μέθοδοι κατασκευής νέων τοπολογικών χώρων από ήδη υπάρχοντες. Στην πέμπτη ενότητα εξετάζεται μία σειρά από συνθήκες, οι οποίες καθιστούν την τοπολογία ενός χώρου ευνοϊκή ως προς τη διαχωριστικότητα του χώρου. Στην έκτη ενότητα διερευνώνται οι συνθήκες για την περιγραφή ενός τοπολογικού χώρου, υπό μία έννοια πυκνότητας, με σκοπό την εύρεση συνθηκών που θα πρέπει να ικανοποιεί ένας τοπολογικός χώρος για να είναι μετρικοποιήσιμος. Στην έβδομη ενότητα παρουσιάζονται τα δύο βασικά θεωρήματα που αφορούν τους μετρικοποιήσιμους τοπολογικούς χώρους. Στην όγδοη ενότητα μελετάται η έννοια της συνεκτικότητας ενός τοπολογικού χώρου ενώ, τέλος, στην ένατη ενότητα ορίζεται η έννοια του συμπαγούς τοπολογικού χώρου και αποδεικνύεται το θέωρημα Tychonoff για το γινόμενο συμπαγών τοπολογικών χώρων.

Στόχοι Μαθήματος

Εξοικείωση με τις έννοιες που αφορούν τους τοπολογικούς χώρους Μελέτη της συμπεριφοράς της τοπολογίας κοντά σε κάθε σημείο του χώρου Κατανόηση της ανάγκης για την εισαγωγή της έννοιας του δικτύου Εξοικείωση με την κατασκευή νέων τοπολογικών χώρων από ήδη υπάρχοντες Μελέτη των συνθηκών διαχωριστικότητας και αριθμησιμότητας τοπολογικών χώρων Μελέτη των συνθηκών μετρικοποιησιμότητας τοπολογικών χώρων Μελέτη της συνεκτικότητας και της συμπάγειας τοπολογικών χώρων

Προαπαιτούμενες Γνώσεις

Πραγματική Ανάλυση

Περιεχόμενα

Τοπολογικοί χώροι (ορισμοί των εννοιών : τοπολογικός χώρος και τοπολογία. Κύριες τοπολογικές έννοιες, βάσεις τοπολογίας και περιοχών, υπόχωροι τοπολογικού χώρου). Συνεχείς συναρτήσεις σε τοπολογικούς χώρους (σημειακή (τοπική) συνέχεια και (ολική) συνέχεια, ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων, η τοπολογία γινόμενο, μετρικές τοπολογίες). Σύγκλιση (δίκτυα και υποδίκτυα, σύγκλιση ακολουθιών, σύγκλιση δικτύων, μελέτη της συνέχειας συναρτήσεων με τη βοήθεια δικτύων). Συμπάγεια (ορισμός του συμπαγούς τοπολογικού χώρου και βασικές ιδιότητες, συνέχεια συναρτήσεων και συμπάγεια, συμπαγείς μετρικοί χώροι). Συνεκτικότητα (ορισμός του συνεκτικού τοπολογικού χώρου και βασικές ιδιότητες, συνεκτικές συνιστώσες, συνέχεια συναρτήσεων και συνεκτικότητα). Αξιώματα αριθμήσιμου και διαχωριστικά αξιώματα. Τα θεωρήματα Urysohn και Tychonoff (το Λήμμα του Urysohn, το θεώρημα μετρικοποιησιμότητας του Urysohn, το θεώρημα του Tychonoff). Τοπολογίες χώρων συναρτήσεων (η τοπολογία της σημειακής σύγκλισης, η συμπαγής ανοικτή τοπολογία).