ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ - ΑΝΟΙΚΤΟ ΨΗΦΙΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑ

Οι επιστημονικοί υπολογισμοί είναι η βάση για πολλούς τομείς στην έρευνα, τεχνολογία και εκπαίδευση. Πραγματικά προβλήματα, όπως η πρόβλεψη καιρού, κατασκευή κυκλωμάτων, κατασκευή μηχανών, προσομοίωση κινητήρων, δημιουργία φαρμάκων κλπ., χρειάζεται να μοντελοποιηθούν σωστά και να λυθούν με ακρίβεια και ταχύτητα σε ηλεκτρονικούς υπολογιστές. Αυτό απαιτεί πολλά στάδια, στα οποία συμμετέχουν πολλές επιστήμες, Φυσική, Χημεία, Βιολογία κ.α., Μαθηματικά και Επιστήμη Ηλεκτρονικών Υπολογιστών. Ο τομέας των Επιστημονικών Υπολογισμών (Scientific Computing) περιέχει μεγάλο μέρος από όλες τις προηγούμενες επιστήμες με έμφαση στα Μαθηματικά και στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές. Ένας δυνατός ηλεκτρονικός υπολογιστής είναι ουσιατστικά μηδενικής σημασίας και χρησιμότητας, αν δεν υλοποιηθούν σωστά οι κατάλληλες μαθηματικές μέθοδοι που θα λύσουν προβλήματα (είτε μοντέλα είτε πραγματικά). Το μέρος των Επιστημονικών Υπολογισμών που θα "ακουμπήσουμε" στο μάθημα, έχει να κάνει περισσότερο με τα Μαθηματικά και του Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές. Από τα Μαθηματικά, θα δούμε βασικές και πολύ γνωστές μεθόδους για επίλυση ορισμένων προβλημάτων και θα επιβεβαιώσουμε τις ιδιότητες τους (ακρίβεια και ταχύτητα) προγραμματίζοντας τις και κάνοντας εκτενείς πειραματισμούς.

Στόχοι Μαθήματος

Το μάθημα έχει σκοπό να δώσει στους φοιτητές τα απαραίτητα εργαλεία για την επίλυση γνωστών μαθηματικών προβλημάτων που προκύπτουν άμεσα από προβλήματα του υλικού (hardware) και των τηλεπικοινωνιών (όπως λύση γραμμικών συστημάτων, επίλυση διαφορικών εξισώσεων και μη γραμμικών εξισώσεων, προβλήματα προσέγγισης δεδομένων κλπ.) Η χρήση του λογισμικού πακέτου MATLAB, το οποίο είναι παγκοσμίως γνωστό και χρησιμοποιείται από μηχανικούς και θεωρητικούς της επιστήμης των ηλεκτρονικών υπολογιστών, καθιστά δυνατή την υλοποίηση και μελέτη των μεθόδων που παρουσιάζονται στη θεωρία. Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος ο φοιτητής / τρια θα: Έχει κατανοήσει τρόπους επίλυσης γραμμικών συστημάτων με άμεσες και επαναληπτικές μεθόδους και θα είναι σε θέση να κρίνει ποια είναι η κατάλληλη μέθοδος για να χρησιμοποιήσει στο εκάστοτε πρόβλημα που αντιμετωπίζει. Έχει γνώση των βασικών μεθόδων επίλυσης μη γραμμικών συστημάτων εξισώσεων. Έχει γνώση των μεθόδων προσέγγισης και παρεμβολής δεδομένων με (κατά τμήματα) πολυωνυμικές ή/και τριγωνομετρικές συναρτήσεις (Fourier). Έχει γνώση σε βασικές μεθόδους αριθμητικής παραγώγισης με πεπερασμένες διαφορές και ολοκλήρωσης, οι οποίες θα του είναι χρήσιμες σε επίλυση διαφορικών εξισώσεων με αριθμητικές μεθόδους. Έχει κατανοήσει την επίδραση σφαλμάτων πεπερασμένης αριθμητικής και των σφαλμάτων των μεθόδων στα αριθμητικά αποτελέσματα που θα λαμβάνει από την εκτέλεση των προγραμματισμένων μεθόδων. Έχει γνώση βασικού επιπέδου του λογισμικού MATLAB και των εργαλείων του (toolbox).

Προαπαιτούμενες Γνώσεις

Λογισμός Ι, ΗΥ120 Προγραμματισμός Ι, ΗΥ112 Γραμμική Άλγεβρα

Περιεχόμενα

Αριθμητική Κινητής Υποδιαστολής. Μέθοδοι προσέγγισης συναρτήσεων και δεδομένων με πολυώνυμα, τμηματικά πολυωνυμικές συναρτήσεις, και σειρές Fourier. Αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης γραμμικών και μη γραμμικών συστημάτων (άμεσες και επαναληπτικές). Αριθμητική προσέγγιση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων πινάκων. Αριθμητική ολοκλήρωση και παραγώγιση. Μέθοδοι επίλυσης Συνήθων και Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων. Εισαγωγή στον επιστημονικό προγραμματισμό με C/C++, Matlab, Excel