Μαθηματικός Λογισμός [open]

Mathematical induction. Completeness of the real numbers. Functions. Limits. Continuity, theorems of continuous functions. Uniform continuity. Differentiation, derivative of inverse functions, derivatives of trigonometric functions, differential. Applications of derivatives, extreme values of functions, concavity, curve sketching, Cauchy mean value theorem, L’ Hopital rule, graphical method of solving autonomous differential equations, Newton’s approximation method. Integral, indefinite, definite, techniques of integration. Volume of solids of revolution. Improper integrals. Transcendental functions. Separable, linear differential equations of first order. Taylor’s formula.

Objectives

Ο στόχος του μαθήματος είναι να δώσει μία πλήρη αλλά και χρηστική γνώση του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού. Καλύπτει και επεκτείνει ύλη που έχει παρουσιαστεί στα τελευταία χρόνια του σχολείου περιλαμβάνοντας τις συναρτήσεις, τον βασικό λογισμό, τα όρια, τις παραγώγους και τα ολοκληρώματα. Ένας στόχος του μαθήματος είναι να παράσχει μια στέρεη γνώση της ανάλυσης συναρτήσεων μιας μεταβλητής και να εκθέσει τη μαθηματική αυστηρότητα μέσω των αποδείξεων των περισσοτέρων θεωρημάτων και προτάσεων.

Prerequisites

Δεν υπάρχουν προαπαιτούμενα.

Syllabus

Μαθηματική επαγωγή. Πληρότητα των πραγματικών αριθμών. Συναρτήσεις. Όρια. Συνέχεια, θεωρήματα συνεχών συναρτήσεων. Ομοιόμορφη συνέχεια. Παράγωγος, παράγωγος αντίστροφης συνάρτησης, παράγωγοι τριγωνομετρικών συναρτήσεων, διαφορικό. Εφαρμογές παραγώγων, ακρότατα, κοιλότητα, γραφήματα συναρτήσεων, θεώρημα μέσης τιμής Cauchy, κανόνας L’Hopital, γραφική επίλυση αυτόνομων διαφορικών εξισώσεων, προσεγγιστική μέθοδος Newton. Ολοκλήρωμα, αόριστο, ορισμένο, μέθοδοι ολοκλήρωσης. Όγκος στερεών εκ περιστροφής. Γενικευμένα ολοκληρώματα. Υπερβατικές συναρτήσεις. Διαχωρίσιμες, γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Το θεώρημα Taylor.