Διαφορική Γεωμετρία ΙΙ

Επανάληψη εννοιών της θεωρίας επιφανειών, ολικά θεωρήματα, εξισώσεις Godazzi και Gauss, συναλλοίωτη παράγωγος διανυσματικών πεδίων, παράλληλη μεταφορά, γεωδαισιακές καμπύλες, το θεώρημα Gauss-Bonnet

Στόχοι Μαθήματος

Να μπεί ο φοιτητής σε μεγαλύτερο βάθος στις έννοιες της διαφορικής γεωμετρίας και να κάνει αποδείξεις θεωρημάτων.  Να κατανοήσει την έννοια της γεωδαισιακής και να εφαρμοζει το Θεώρημα των Gauss-Bonnet.

Προαπαιτούμενες Γνώσεις

Γραμμική Αλγεβρα, Λογισμός πολλών μεταβλητών

Περιεχόμενα

Στο πρώτο μέρος του μαθήματος θα γίνει εκτενής επανάληψη της θεωρίας επιφανειών που διδάχτηκε στο μάθημα Διαφορική Γεωμετρία με έμφαση στις ιδότητες του τελεστή σχήματος, κάθετη καμπυλότητα, καμπυλότητα Gauss και μέση καμπυλότητα.  Στη συνέχεια, θα γίνει απόδειξη του Θαυμαστού Θεωρήματος του Gauss (Theorema Egregium). Θα συνεχίσουμε με ορισμό και μελέτη  γεωδαισικών καμπυλών, γεωδαισιακής καμπυλότητας και γεωδαισιακές ως κρίσιμα σημεία του συναρτησοειδούς ενέργειας.  Θα διατυπώσουμε και θα αναλύσουμε το θεώρημα των Gauss-Bonnet και θα δούμε διάφορες εφαρμογές του.