Διαφορικές Εξισώσεις

Στο παρόν μάθημα παρουσιάζονται βασικές εφαρμογές της θεωρίας των συνήθων διαφορικών εξισώσεων, οι οποίες μπορούν να βοηθήσουν τους φοιτητές του Τμήματος στην κατανόηση και χρήση των εργαλείων και μεθόδων του πολύ σημαντικού αυτού για το αντικείμενό τους κλάδου των εφαρμοσμένων μαθηματικών.

Στόχοι Μαθήματος

Εξοικείωση με τις μορφές, τα είδη και τις ποικίλες κατηγοριοποιήσεις και μαθηματικές τεχνικές των διαφορικών εξισώσεων στην βιβλιογραφία, όπως και με την κατασκευή τους σε φυσικά και μηχανικά προβλήματα, καθώς έχουν ένα σημαίνοντα ρόλο στη μαθηματική μοντελοποίηση της επιστήμης του Ηλεκτρολόγου Μηχανικού. Γνώση κλασικών μεθοδολογιών επίλυσης των βασικών διαφορικών εξισώσεων της βιβλιογραφίας που διέπουν κλασικά προβλήματα της οικείας επιστήμης και εν γένει της Μηχανικής και Φυσικής, αλλά και γνώση κατασκευής και (ή) επιλογής τεχνικών που αφορούν συνθετότερες μορφές εξισώσεων, οι οποίες εμφανίζονται σε γραμμικά αλλά και μη γραμμικά προβλήματα. Γνώση της ερμηνείας της συμπεριφοράς των λύσεων όσον αφορά την φυσική κατάσταση του προβλήματος που διέπεται από την επιλυόμενη εξίσωση.  

Προαπαιτούμενες Γνώσεις

Δεν υπάρχουν προαπαιτούμενα μαθήματα. Απαιτούνται μόνο βασικές γνώσεις παραγώγων, ολοκληρωμάτων και γραμμικής άλγεβρας.

Περιεχόμενα

Ορισμοί και βασικές έννοιες ? Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις ? Μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ? Γραμμικότητα και γραμμικοποίηση ? Γραμμικές εξισώσεις πρώτης τάξεως ? Εξισώσεις Bernoulli, Riccati ? Συμπεριφορά λύσεων, αναγωγή σε χωριζομένων μεταβλητών ? Ομογενείς εξισώσεις ? Πλήρεις εξισώσεις, ολοκληρωτικοί παράγοντες ? Προσεγγιστικές μέθοδοι ? Πεδίο κατευθύνσεων ? Περιβάλλουσα, ανώμαλα σημεία οικογένειας λύσεων ? Παραμετρικές λύσεις, Εξισώσεις Lagrange, Clairaut, Abel ? Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας για εξισώσεις πρώτης τάξεως ? Πρώτα ολο- κληρώματα και γενικές λύσεις μη γραμμικών εξισώσεων δευτέρας τάξεως ? Ομογενείς γραμμικές εξισώσεις δευτέρας τάξεως, ορίζουσα Wronski, θεμελιώδεις λύσεις, σχέση με εξίσωση Riccati ? Ομογενής με σταθερούς συντελεστές ? Μη ομογενής εξίσωση δευτέρας τάξεως, μέθοδος προσδιοριστέων συντελεστών, μέθοδος μεταβολής των παραμέτρων ? Εφαρμογές σε μηχανικές και ηλεκτρικές ταλαντώσεις ? Εξισώσεις Euler ? Γραμμικές εξισώσεις ανωτέρας τάξεως ? Γραμμικά συστήματα διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης ? Θεώρημα ύπαρξης, μοναδικότητας ? Θεμελιώδης πίνακας λύσεων ομογενούς αυτόνομου συστήματος ? Λύση μη ομογενούς συστήματος ? Ευστάθεια, χαρακτηρισμός της αρχής των αξόνων ? Πρώτα ολοκληρώματα, χώρος φάσεων, τροχιές φάσης ? Μη γραμμικά αυτόνομα συστήματα πρώτης τάξης ? Κρίσιμα σημεία ? Γραμμική προσέγγιση ? Θεώρημα ευστάθειας ? Οριακοί κύκλοι