Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ

Το μάθημα ακολουθεί το μάθυμα «Γεωμετρία και Γραμμική Άλγεβρα» και αποτελεί εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα σε γενικούς διανυσματικούς χώρους, κυρίως πεπερασμένης διάστασης. Ταυτόχρονα το μάθημα αποτελεί την πρώτη επαφή με την αξιωματική προσέγγιση μαθηματικών δομών.

Στόχοι Μαθήματος

Στόχος του μαθήματος είναι η αξιωματική μελέτη των διανυσματικών χώρων και των γραμμικών απεικονίσεων. Η μελέτη θεωρητικών προβλημάτων αφ' ενός συνδέεται με τις υπολογιστικές μεθόδους που αναπτύχθηκαν στο μάθημα Γεωμετρία και Γραμμική Άλγεβρα, και αφ' ετέρου στοχεύει να αναδείξει τη χρησιμότητα της αξιωματικής προσέγγισης.

Προαπαιτούμενες Γνώσεις

ΜΕΜ 102, Γεωμετρία και Γραμμική Άλγεβρα

Περιεχόμενα

- Διανυσματικοί χώροι. Γραμμικοί υπόχωροι. Γραμμική ανεξαρτησία, βάση, διάσταση. Άθροισμα υποχώρων. - Γραμμικές απεικονίσεις, υπόχωροι που σχετίζονται με μία γραμμική απεικόνιση. Σύνθεση. Ισομορφισμοί. - Ευθύ άθροισμα διανυσματικών χώρων. Χώρος πηλίκο. Θεωρήματα ισομορφισμού. Δυϊκοί χώροι. - Πίνακας γραμμικής απεικόνισης ως προς μία βάση. Αλλαγή βάσης. - Αναλλοίωτοι υπόχωροι. Χαρακτηριστικό πολυώνυμο πίνακα. Αλγεβρική και γεωμετρική πολλαπλότητα ιδιοτιμών. Θεώρημα Cayley - Hamilton. Τριγωνοποίηση πίνακα. - Νόρμα και εσωτερικό γινόμενο. Ορθοκανονικοποίηση Gram-Schmidt. Διαγωνιοποίηση συμμετρικών και ερμιτιανών πινάκων.