Θεωρία Σωμάτων

Πεπερασμένες επεκτάσεις σωμάτων. Aλγεβρικοί Aριθμοί. Kατασκευές με κανόνα και διαβήτη και τα άλυτα γεωμετρικά προβλήματα της αρχαιότητας. Σώμα ριζών πολυωνύμου. H ομάδα Galois μιας πεπερασμένης επέκτασης σωμάτων. Θεμελιώδες θεώρημα της Θεωρίας Galois. Kριτήριο επιλυσιμότητος αλγεβρικών εξισώσεων. H γενική αλγεβρική εξίσωση βαθμού > 5 είναι άλυτη με χρήση μόνο ριζικών και των τεσσάρων αριθμητικών πράξεων.

Στόχοι Μαθήματος

Η κατανόηση του τρόπου αντιμετωπίσεως δύσκολων κλασικών προβλημάτων (όπως είναι, π.χ., το πρόβλημα του «τετραγωνισμού του κύκλου», ήτοι του κατά πόσον, δοθέντος ενός κύκλου, είναι εφικτή η κατασκευή ενός τετραγώνου με κανόνα και διαβήτη, ούτως ώστε το εμβαδόν των χωρίων των περικλειόμενων από το τετράγωνο και τον κύκλο να έχουν το ίδιο εμβαδόν) κάνοντας χρήση αλγεβρικών μέσων (προερχομένων από τη Θεωρία Ομάδων και τη Θεωρία Σωμάτων).

Προαπαιτούμενες Γνώσεις

Αλγεβρα (Μ1222)

Περιεχόμενα

Πεπερασμένες επεκτάσεις σωμάτων. Aλγεβρικοί Aριθμοί. Kατασκευές με κανόνα και διαβήτη και τα άλυτα γεωμετρικά προβλήματα της αρχαιότητας. Σώμα ριζών πολυωνύμου. H ομάδα Galois μιας πεπερασμένης επέκτασης σωμάτων. Θεμελιώδες θεώρημα της Θεωρίας Galois. Kριτήριο επιλυσιμότητος αλγεβρικών εξισώσεων. H γενική αλγεβρική εξίσωση βαθμού > 5 είναι άλυτη με χρήση μόνο ριζικών και των τεσσάρων αριθμητικών πράξεων.